Inégalités avec valeur absolue

Inégalités avec valeur absolue

La valeur absolue représente une distance à 0. Une inégalité avec (|x|) demande donc si le nombre est proche de 0 ou au contraire éloigné de 0.

1) Reconnaître le type d’inégalité

• Si on a (|x| < a) ou (|x| \le a), la solution correspond aux nombres proches de 0.
• Si on a (|x| > a) ou (|x| \ge a), la solution correspond aux nombres éloignés de 0.

2) Réécrire sans valeur absolue

Pour un nombre positif (a) :

• (|x| < a) devient (-a < x < a)
• (|x| \le a) devient (-a \le x \le a)
• (|x| > a) devient (x < -a) ou (x > a)
• (|x| \ge a) devient (x \le -a) ou (x \ge a)

3) Résoudre avec soin

Si l’expression à l’intérieur de la valeur absolue est plus compliquée, commence par l’isoler. Puis résous l’inégalité obtenue comme une inégalité ordinaire.

4) Vérifier la réponse

Teste une valeur dans chaque partie de l’ensemble solution. Cela permet de confirmer que la réponse convient bien à l’inégalité de départ, surtout quand il y a deux intervalles.

5) Simplifier la réponse finale

Écris la solution sous forme d’intervalle ou d’inégalité claire, et regroupe les parties si nécessaire. S’il n’y a aucune solution, indique-le explicitement.