Arrangements avec éléments répétés

Compter des arrangements avec éléments répétés

Quand certains éléments sont identiques, plusieurs réarrangements paraissent différents au premier regard, mais ils donnent en réalité le même arrangement. Échanger deux éléments identiques ne crée pas de nouveau cas.

1) Compter comme si tout était différent

S’il y a (n) éléments au total, commence par (n!), le nombre d’arrangements possibles si tous les éléments étaient distincts.

2) Corriger les répétitions

Si un élément apparaît (r_1) fois, un autre (r_2) fois, etc., il faut diviser par le produit des factorielles des répétitions :

[ \frac{n!}{r_1!,r_2!\cdots} ]

C’est la formule à utiliser pour obtenir le nombre d’arrangements distincts.

3) Calculer puis simplifier

Calcule les factorielles avec soin, puis simplifie l’expression. La réponse finale doit être un entier.

4) Vérifier le résultat

Vérifie que le nombre trouvé est plus petit que (n!). Si tous les éléments étaient différents, le résultat serait plus grand. Les répétitions doivent donc diminuer le total.

Erreur fréquente

Il ne faut pas diviser par le nombre d’éléments répétés, mais par la factorielle de ce nombre.

En suivant toujours ces étapes — total, correction des répétitions, simplification — on compte correctement les arrangements.