Continuité en un point

Continuité en un point

Pour vérifier qu’une fonction est continue en un point précis, on compare la valeur de la fonction en ce point avec les valeurs approchées quand on s’en rapproche.

1) Calculer les trois quantités nécessaires

Pour un point (a), déterminer :

• (f(a))
• (\lim_{x\to a^-} f(x))
• (\lim_{x\to a^+} f(x))

Si les deux limites unilatérales existent et sont égales, alors la limite en (a) existe.

2) Appliquer le critère de continuité

La fonction est continue en (a) lorsque les trois valeurs coïncident : [ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). ] Si la limite est différente de la valeur de la fonction, ou si les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, la fonction n’est pas continue en ce point.

3) Simplifier avec soin

Quand l’expression contient des fractions, des racines ou une définition par morceaux, simplifie d’abord si possible, puis remplace. Cela évite des erreurs comme une division par zéro ou un mauvais choix de branche.

4) Vérifier la réponse

Un bon contrôle consiste à comparer la limite avec la valeur réelle de la fonction au point étudié. Si elles sont égales, la continuité est vérifiée; sinon, elle ne l’est pas.

Dans les exercices avec réponse exacte, garde une forme exacte simplifiée plutôt qu’une approximation décimale.