Dérivée par premiers principes
Cette méthode calcule la dérivée à partir de la définition, sans utiliser les règles de dérivation. L’idée est de mesurer le taux de variation moyen sur un petit pas, puis de faire tendre ce pas vers zéro.
Méthode
- Écrire la définition
Pour une fonction (f(x)), on part de
[
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
]
- Remplacer avec soin
Dans (f(x+h)), remplace chaque (x) par (x+h), puis soustrais (f(x)).
- Développer et simplifier
Développe les parenthèses, regroupe les termes semblables et factorise (h) si possible. Cette étape est souvent indispensable.
- Calculer la limite
Une fois l’expression simplifiée, remplace (h) par (0) dans ce qui reste.
Bons réflexes
- Garde tous les termes du numérateur jusqu’à la simplification complète.
- Fais attention aux signes lors des développements.
- S’il y a une racine, une fraction ou un produit, simplifie avant de prendre la limite.
Vérification
La réponse finale doit dépendre seulement de (x), sans (h). Vérifie aussi que le résultat a une forme cohérente : par exemple, la dérivée d’un polynôme est encore un polynôme, souvent de degré plus simple.
Schéma type
Si (f(x)=x^2), on applique la définition, on développe ((x+h)^2), on simplifie, on annule le facteur (h), puis on prend la limite. La même démarche sert pour chaque exercice par premiers principes.