Dérivation de fonction logarithmique

Dérivation de fonction logarithmique

Pour dériver une fonction logarithmique, l’idée essentielle est d’utiliser la dérivée de (\ln(x)) et, lorsque l’argument n’est pas simplement (x), d’appliquer la règle de la chaîne.

1) Repérer le logarithme

Cherche des expressions comme (\ln(x)), (\ln(g(x))) ou d’autres formes logarithmiques contenant une fonction à l’intérieur. La fonction intérieure est importante, car elle modifie la dérivée.

2) Dériver l’extérieur et l’intérieur

• Pour (\ln(x)), la dérivée est (1/x).
• Pour (\ln(g(x))), on applique la règle de la chaîne : [ \frac{d}{dx}[\ln(g(x))] = \frac{g'(x)}{g(x)}. ] Autrement dit, on garde la fonction intérieure au dénominateur, puis on multiplie par sa dérivée.

3) Simplifier le résultat

Après la dérivation, réduis les fractions et regroupe les termes si nécessaire. La réponse finale doit être écrite sous la forme la plus simple possible.

4) Vérifier sa réponse

Un bon contrôle consiste à vérifier que la dérivée a bien la forme attendue : pour un logarithme, on obtient généralement une fraction contenant l’expression intérieure. Vérifie aussi que le facteur issu de la règle de la chaîne a été pris en compte.

Erreur fréquente à éviter

Ne dérive pas (\ln(g(x))) comme s’il s’agissait de (\ln(x)). La dérivée de la fonction intérieure doit apparaître.