Intégration de fonction exponentielle

Intégrer des fonctions exponentielles

Quand on intègre une fonction exponentielle, il faut repérer la base et vérifier si l’exposant contient une constante multiplicative. L’idée essentielle est que l’exponentielle reste une exponentielle après intégration, mais il peut être nécessaire d’ajouter un facteur pour compenser la dérivée de l’exposant.

1) Identifier la forme

On rencontre souvent :

• (\int e^x,dx)
• (\int a^x,dx)
• (\int e^{kx},dx)
• (\int a^{kx},dx)

2) Appliquer la règle correspondante

• Pour (\int e^x,dx), une primitive est (e^x + C).
• Pour (\int e^{kx},dx), on divise par (k) : [ \int e^{kx},dx = \frac{1}{k}e^{kx}+C. ]
• Pour (\int a^x,dx), on utilise le logarithme népérien de la base : [ \int a^x,dx = \frac{a^x}{\ln a}+C, \quad a>0,\ a\neq 1. ]
• Pour (\int a^{kx},dx), on combine les deux corrections : [ \int a^{kx},dx = \frac{a^{kx}}{k\ln a}+C. ]

3) Simplifier le résultat

Réduis les coefficients si possible et n’oublie pas la constante d’intégration (C).

4) Vérifier

Dérive le résultat obtenu. Tu dois retrouver exactement l’intégrande de départ. C’est le meilleur moyen de vérifier le facteur placé devant l’exponentielle.