PPCM à partir du PGCD

Idée

Quand on connaît le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers positifs, on peut trouver leur plus petit commun multiple (PPCM). La relation essentielle est que, pour deux nombres, le produit des deux nombres est égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM.

Méthode

1. Écrire les nombres et leur PGCD. Soient les nombres (a) et (b), et soit (g = \gcd(a,b)).
2. Utiliser la relation de produit. Calculer [ \operatorname{ppcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{g}. ]
3. Simplifier avec soin. Quand c’est possible, diviser avant de multiplier pour éviter les calculs lourds.
4. Donner une réponse simplifiée. Pour des entiers, le PPCM doit être un entier positif.

Vérification

On peut vérifier que le résultat est bien un multiple des deux nombres de départ et qu’il est cohérent avec le PGCD. Si le PGCD vaut 1, les deux nombres sont premiers entre eux, donc le PPCM est simplement leur produit.

Attention

Ne confonds pas PGCD et PPCM. Le PPCM ne peut pas être plus petit que l’un des deux nombres, donc un résultat inférieur est forcément faux.