Évaluer une limite par substitution directe

Idée de la substitution directe

Si la fonction est bien définie au point visé, on peut trouver la limite en remplaçant simplement la variable par cette valeur. Cela fonctionne lorsque la fonction est continue en ce point : les valeurs de gauche et de droite se rapprochent alors du même nombre.

Méthode

1. Repère la valeur vers laquelle la variable tend.
2. Remplace cette valeur dans l’expression telle qu’elle est écrite.
3. Simplifie avec soin en respectant les priorités de calcul.
4. Réduis le résultat à sa forme la plus simple.

Points d’attention

Si la substitution directe conduit à une forme indéfinie, comme une division par zéro, la limite demande peut-être une autre méthode. Mais dans les exercices de substitution directe, l’expression est en général définie après remplacement.

Vérification rapide

Après simplification, relis le calcul : le résultat est-il bien celui obtenu en remplaçant directement la valeur ? Si l’expression est un polynôme, une fraction avec dénominateur non nul, ou une autre expression continue au point considéré, la valeur trouvée est la limite.

Schéma type

Pour une limite de la forme (\lim_{x\to a} f(x)), calcule (f(a)) puis simplifie. La valeur simplifiée finale est la limite.