Évaluer une limite par rationalisation

Évaluer une limite par rationalisation

Quand une limite contient une racine carrée, la substitution directe peut conduire à une forme indéterminée, souvent 0/0. La rationalisation permet de supprimer la racine à l’aide du conjugué.

1) Commencer par la substitution directe

Remplace la valeur visée dans l’expression. Si tu obtiens un nombre ordinaire, c’est la limite. Si tu trouves 0/0, il faut transformer l’expression.

2) Multiplier par le conjugué

Si l’expression comporte une différence du type \sqrt{a(x)} - \sqrt{b(x)}, multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \sqrt{a(x)} + \sqrt{b(x)}. On utilise alors (u-v)(u+v)=u^2-v^2. Les racines disparaissent en général au numérateur.

3) Simplifier avec soin

Après la multiplication, factorise et simplifie les termes communs s’il y en a, par exemple un facteur (x-c). Ensuite, réévalue la limite en remplaçant la valeur cherchée.

4) Vérifier le résultat

Assure-toi que l’expression simplifiée est bien définie près du point considéré et qu’elle donne une valeur finie. Si possible, teste des valeurs proches pour confirmer que l’expression se rapproche bien de la réponse trouvée.

Astuce

Ne rationalise que la partie responsable de la forme indéterminée. Fais attention aux signes dans les différences de racines.