Classification des maxima et minima locaux

Classification d’un maximum ou d’un minimum local

Ces exercices demandent de décider si un point critique est un maximum local, un minimum local ou aucun des deux. L’idée essentielle est d’observer le comportement de la fonction autour du point étudié.

1) Repérer le point à examiner

Un exercice de classification donne souvent un point précis, ou bien des informations sur une dérivée au voisinage d’un candidat. Identifie clairement le point à classer.

2) Étudier le signe de la dérivée première autour du point

Regarde le signe de la dérivée juste à gauche et juste à droite :

• Si la dérivée passe de positive à négative, la fonction monte puis descend : c’est un maximum local.
• Si la dérivée passe de négative à positive, la fonction descend puis monte : c’est un minimum local.
• Si le signe de la dérivée ne change pas, ce n’est ni l’un ni l’autre.

3) Si une information sur la dérivée seconde est donnée

Quand le test de la dérivée seconde est disponible :

• Dérivée seconde positive : tendance vers un minimum local.
• Dérivée seconde négative : tendance vers un maximum local.
• Si le résultat ne permet pas de conclure, utilise un autre test.

4) Donner la réponse finale clairement

Écris directement la classification demandée et simplifie toute expression finale.

Vérification

Un bon contrôle consiste à comparer le comportement de la fonction de chaque côté du point. La réponse doit correspondre à la forme locale du graphique.