Résoudre une récurrence linéaire simple

1) Identifier le type de récurrence

Une récurrence linéaire simple donne en général un terme à partir du précédent, souvent avec un facteur constant ou un terme ajouté constant. L’objectif est de réécrire la suite jusqu’à faire apparaître un motif, puis d’obtenir une expression directe du terme.

2) Calculer les premiers termes

En partant de la valeur initiale donnée, calcule les termes suivants pas à pas. Cela permet de repérer si la suite est :

• multiplicative : chaque terme est multiplié par le même nombre,
• additive : chaque terme augmente toujours du même montant,
• ou un mélange des deux.

3) Chercher une forme explicite

Pour une récurrence seulement multiplicative, les substitutions répétées font souvent apparaître une puissance. Pour une récurrence additive, on obtient souvent une progression arithmétique. Si un facteur et une constante sont présents, essaie de séparer la partie stable de la partie variable en testant un changement de variable.

4) Simplifier avec soin

Quand tu trouves une expression, réduis-la complètement. Regroupe les puissances, simplifie les fractions et écris la réponse exacte sous sa forme la plus propre.

5) Vérifier le résultat

Remplace la formule trouvée dans la récurrence pour voir si elle donne bien le terme suivant. Vérifie aussi la valeur initiale pour confirmer que la formule est correcte dès le départ.